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“數學不好”可能由多種因素造成。本文中，作者著重討論了“識數能力缺陷”，並通過最新的神經科學與神經影像學研究探討其成因；同時，給出了兩個通過適應性學習程序進行干預的案例；文章還討論了研究這一問題的意義與一些值得進一步研究的問題。此文對從事數學教學、特殊教育的讀者必有所幫助；對其他讀者，也可通過此文拓寬視野、廣博見聞，並瞭解如何客觀地表徵人類的學習。
本文選自SCIENCE ，作者 Brian Butterworth, Sashank Varma, Diana Laurillard，譯者 ginger、芋辰、孫欣怡、Iris、AtKun。
發展性計算障礙指數學學習能力紊亂，患病率約在5％～7％之間，該比例與發展性閱讀障礙相當。英國政府的一份主要報告總結表明：“相比發展性閱讀障礙，發展性計算障礙並未收到應有的關注。計算障礙的後果和閱讀障礙一樣嚴重。計算障礙所獲得的研究經費嚴重不足。從這些數據中可以看出：自2000年以來，美國國家衛生研究院（NIH）在閱讀障礙上投入的研究經費達1.072億美元，而計算障礙所獲得的經費只有230萬美元。
在臨床上，對計算障礙的確診是將患者數學成績欠佳作為衡量標準，而並非確認其認知表型。因此，人們無法在干預的環境下，或在複雜的數學教學大環境下，提供及時有效的補救措施。
數學水平低會給國家造成巨大的經濟負擔，提高數學水平能夠大大增加國家經濟實力。經濟合作與發展組織（OECD）的最近一項分析研究表明：根據歷史經驗， 提高個人數學和科學學科水平1.5個標準差，能實現0.87％人均國內生產總值（GDP）的年增長率。時間滯後相關性研究表明, 教育水準的改善有助於GDP增長。僅僅通過幫助數學水平欠佳的學生達到國際學生評估計劃（PISA）的最低標準（所有經合組織國家每年增加0.68％），就能夠實現GDP實質性的長期增長。例如，在美國，若能幫助處於最底端的19.4％的學生達到最低（PISA）標準，美國的對應GDP增長率可達0.74％。
除了GDP增長緩慢之外，數學水平低也會給政府以及個人帶來巨大財政和個人經濟負擔。一組英國研究發現，和低識字能力相比，數學水平低更會為個人生活帶來困擾，比如收入會更低，消費更少，更容易生病，更可能觸犯法律，更需要得到學校的幫助。每年英國在數學障礙上的開銷達24億英鎊。
什麼是計算障礙？
近期神經行為和遺傳研究表明，計算障礙是一種認知缺陷症狀。學術文獻中(對計算的定義)有多種專業術語，但核心內容一致：學習者在學習數學過程中，存在嚴重的問題。“百裡挑一”的計算障礙者存在正常智力發育（遲緩）和工作記憶（有限）等症狀，還伴有其他的發展型障礙，例如閱讀障礙，多動症（ADHD）。但是，需要指出的是有的患有計算障礙的成年人在某些地方表現驚人，例如他們非常擅長几何、統計、高難度的電腦編程。
研究證據表明：數學學習能力具有極強的遺傳性。科學家對1500對同卵和1375對異卵七歲的雙胞胎做基因分析，發現：30%的遺傳基因和數學能力有關。儘管計算障礙和閱讀障礙存在共發性，對閱讀障礙患者的一級親屬的研究表明：數字能力是單獨的構成因素，同時伴有閱讀和列舉另外兩個主要因素。這些研究結果揭示了：算數學習過程有部分是基於認知系統，有別於其他的一般的學派觀點。
該基因研究由神經行為研究作為理論依據及支持，算術發展的核心（根基） 是人們具有識別並算出一組物體的數量的能力（即識別物體集合的數量）。計算障礙者缺乏該基本能力，無法算出小量物體的數量，也無法比較兩組點陣的數量。兒童和成年人的比較點陣的能力直接影響了數學學習總體能力。處理數字能力的認知缺陷和閱讀障礙患者對語音識別的認知缺陷有異曲同工之妙。
雖然研究領域還沒有很多對計算障礙做的縱向調查研究，但是計算障礙可能伴隨成長，甚至影響那些在其他認知領域沒有任何問題的成年人。所以，有必要進一步研究對計算障礙者早期正確干預的影響。對於計算障礙到底是發展延緩的一種表現，還是發展缺陷，是否可以通過教育來解決計算障礙所帶來的困擾等類似問題還有待討論。
不少有關手指表徵的大腦以及神經研究都有提及計算障礙這一發展缺陷。眾所周知，人們會用手指的幫助來學習數學，提高數學能力。比如在數物體的時候會用手指幫忙。如果大腦對手指表徵不敏感（大腦無法識別手指），或者說對數組的概念有缺陷，孩子的認知發展中，就無法建立手指和數字之間的關聯。識別手指的發展缺陷可以預測孩子的數學學習能力。Gerstmaan綜合症的主要症狀包括計算障礙和識別手指障礙（finger agnosia）。病因是由於大腦頂葉發展異常，以及其發育的過程和數學學習能力有直接的關聯。
數字對計算障礙者沒有太大的意義，有別於常人。他們無法憑直覺掌握數字的大小，數值之間的比較。這些基本的理念支撐著所有和數字有關的工作。
對神經病患者近百年的研究表明：大腦的頂葉和數學能力有關，有別於語言和專業方面的認知能力。一個特別有趣的發現是，人的大腦即便無法記起細節，數學概念和法則也得以保留；反之亦然，即便無法理解算術概念和法則，依然可以記得細節。
神經影像學實驗證實了這一點，並揭示了頂葉和左額葉之間的大腦區域和處理更復雜任務的關聯性。一個重要的新發現是，數學學習的神經組織呈動態性，會在學習的過程中從一個子網絡轉變到另一個子網絡。因此，學習新的算術細節主要動用了額葉和頂內溝（IPS），但運用先前學過的細節則牽涉到左角形腦回—這一部位的主要功能是回憶細節。即便是優秀的計算者也要運用到這一網絡——他們還補充運用了其他腦區，拓展了工作記憶的能力。
目前，大量證據表明，頂內溝支持了符號數值的表徵，不論是模擬數值，還是編碼基數的離散表示。當處理物體陣列數值時，頂內溝會激活。除此之外，當頂內溝的運作受到磁刺激的干擾時，估算離散數值的能力也隨之受到影響。重點在於，幾乎所有的算術和計數過程都涉及頂葉，特別是頂內溝。這意味著這些大腦部位是數學能力的核心。
四歲兒童和成年人迴應數量變化時，大腦活動模式顯示出雙側頂葉有重合區域。然而，更復雜數學能力的神經組織遵循著一定的發展軌跡。首先，處理日常和數字有關活動的大腦區域隨年齡而變化，從額葉區（與執行功能和工作記憶相關）轉至內側顳區（與陳述性記憶相關），再轉至頂葉區（與數值處理和提取算術細節相關）和顳枕區（與符號形式處理相關）。這些變化容許大腦更高效且自動地處理數字，從而使其能夠處理更復雜的數學運算。正如A. N. Whitehead觀察所得，對符號表示法的理解“讓大腦從所有不必要的工作解放出來……而專注於更高級的問題”。
這意味著神經科學領域極有可能出現主攻算術處理的，或是專門研究大腦和經驗之間的發育性互動關係。所以，可以將計算障礙理解為：傳統的學校環境無法提供合適的環境使得計算障礙者的大腦能夠正常發展，學習算術。
當然，數學不僅僅是簡單的數字處理和提取先前所學細節。在一個數字社會中，我們必須學會更加複雜的數學概念，如位值，對應中文地區，實際上就是數位（個十百千）的概念，以及更復雜的過程，如“很長的”加法、減法、乘法和除法。近期學術研究發現了大腦神經和解決複雜的多位數算術直接的關聯。該研究再次表明，與提取先前所學細節相比，解決新的問題需要更多地激活負責推理和工作記憶的額下回，以及負責相關數值表徵的頂內溝。
這些研究中顯著的結果就是頂葉的重要性。頂內溝影響了簡單和複雜運算，這意味著基礎的數值表徵總是會被激活，即便是從記憶中提取早已熟記的個位數加法和乘法細節。這與確立已久的“問題大小效應”觀點一致，認為在個位數運算中，數越大，所需時間越長，即便運算者早已熟知這些問題。看來，典型的發展個體即便是從記憶中提取數學細節，也忍不住會同時激活組成數字的意義。如果這一關聯未能建立，就必然會妨礙計算。
大腦和計算障礙有關嗎？
目前，臨床上依據算術測試成績來確診計算障礙。然而，即使在小學（1-5年級），算術能力已涉及各種認知能力，包括推理能力、工作記憶、語言理解和空間認識。任何一種能力有缺陷都會影響學習表現。神經的結構及功能差別能夠反映出這些認知能力的不同。但是，如果計算障礙是處理數字的關鍵認知缺陷，那麼就應該在支持計算小量物體和比較點陣數量的顱頂骨神經網絡中發現異常。
最近基於計算障礙者大腦的發現與處理數字存在關鍵認知缺陷的觀點是一致的：
我們發現在比較數量、數字標誌，或算術時，有計算障礙的兒童大腦激活較少。在這些任務中，這些兒童沒有怎麼使用頂內溝區（即IPS，頂內溝是跟數字計算緊密相關的腦功能區，腦灰質是信息處理的中心, 能對外界的各種刺激做出反應)。
計算障礙者在有關基本數字處理的腦區域中灰質較少，包括左頂內溝、右頂內溝和雙側頂內溝——計算障礙者的這些腦區不及正常學習者發育得好。
除此之外，據醫學成像反映，（對計算障礙者和正常學習者來說）相關顱頂骨區之間的連接、顱頂骨區與處理數字的枕顳區之間的連接也有差異——計算障礙者沒有發育出能協調計算能力所需腦區的腦結構。
圖表1表明，頂內溝只是大量皮層網絡中支持數學認知能力的一部分。該網絡可能以各種方式失效。如果計算障礙與其他認知缺陷結合（包括工作記憶，推理能力和語言能力），會導致計算障礙表現出不同症狀類型。
另外，同種症狀也能表現網絡中的不同缺陷。比如說，不能正常比較數字是由於跟處理數字有關的梭狀回有缺陷（註釋：梭狀回位於大腦視覺聯合皮層中底面，負責對物體次級分類的識別），跟數量大小類比有關的頂內溝有缺陷，或者是梭狀回和頂內溝之間的鏈接較弱。
這和數學教育有什麼關係？
儘管不是具體針對計算障礙者，人們對如何幫助數學能力弱的孩子曾有很多嘗試。在美國的實證研究集中於貧困背景的孩子，通常他們的社會經濟地位較低。目前英國國家戰略特別關注算術能力低的兒童，他們診斷每個孩子在理解上的概念差距，用專門設計的視覺、言語和肢體活動給孩子更多個性化支持。可惜，自2003年試行起幾乎沒有對這些戰略有效性的量化評估：“現存評估使用了各種不同的衡量標準，大部分研究未包涵比率收益或者效應值，或能得出這兩個統計意義的數據。
所以我們還不太能辨別，使用同等教學的個性化版本來彌補差距是否有效。另外一個問題是，有相關專家訓練助教時，這些干預是有效的——但這並非所有學校都能提供。
這些標準方案取決於課程體系所定義的正常算術能力，以及算術能力低的兒童和正常兒童發育軌跡的差異。相比之下，腦科學研究表明，與其應對孤立概念的差距，治療應該先建立基本的數字概念。這能為獨立於學生交際和學校環境的評估和干預提供明確認知目標。在個人認知能力評估中，設置列舉和比較數字的測試可以補充標準算術課程測試的結果，從而區分計算障礙與其他原因導致的算術能力低下。
在干預中，加強數字的意義，尤其是數學事實及其構成意義間的聯繫是很重要的。正如前文所提，從記憶中正常檢索簡單的算術事實會引出對數字的數值認知。
若缺乏針對性干預，大多數有計算障礙的學生在初中階段仍掙扎於基本算術。有效的早期干預可減少日後對算術能力的影響。對閱讀障礙也是同理。儘管代價不菲，這筆投資將得到12-19倍的回報。
教育者能做什麼？
儘管神經科學告訴我們應該教什麼，但卻沒有具體闡明教學的方法。幾十年來，具體的操作活動用於數學補習，因為這些方法提供了一些任務使數字概念具有意義，（幫助學習者理解）目標、學習者行動和針對行動的信息反饋三者之間建立內在關係。教育工作者們認為信息反饋在任務中賦予了內在動力，這對於學習者的價值遠大於外部動機或是來自監管老師的獎勵。
有經驗的特殊教育（SEN）教師用身體操作遊戲的形式（比如Cuisenaire小棒，數字軌道和撲克牌）讓學習者體會數字的意義。通過玩這些遊戲，學習者能夠在他們的操作中探索，例如，哪個小棒和代表8的小棒能夠一起配對組成代表10的小棒。然而，這些方法要求經過特殊培訓的老師與單個或一個小組的學習者一起進行且只能在有限的在校時間內操作。
因此，一種很有前景的治療計算障礙的辦法就是創建基於神經科學的適應性軟件。此種軟件很可能減少對特殊培訓教室的需求，同時能擺脫學校課程安排的限制。這裡有兩個關於上述適應性軟件應用的案例。
Number Race這一系統針對的是（人腦）頂葉溝區域的遺傳性數字估算系統，（該區域）能幫助早期計算髮育。計算障礙者的這一系統並不那麼精準，而這一訓練就是為提升精確度設計的。內容即是選出兩組點陣中的較大一個。軟件能適應學習者的水平，如果他們的表現進步了，兩列點陣之間的數量差異隨之變小。同時，軟件會給出信息迴應哪一個答案是對的。
另一個適應性遊戲 Graphogame-Maths 則指向頂葉溝內計算障礙被削弱的用於表示或操作集合的遺傳系統。同樣地，遊戲是在比較可見的物品列，但這裡所指的集合足夠小又能數出。其進階任務要求找出集合中物品的個數和其語言數字標籤之間的關聯。軟件也會給出信息反饋哪一個正確。
研究者以幼兒園的孩子（6到7歲）為對象，做了嚴謹的實驗研究，比較這兩款遊戲的有效性。這些兒童都被老師認為在早期數學發展上需要特殊支持。在每個上學日10-15分鐘，連續3個星期的遊戲後，學習者在兩種訓練遊戲中——即數字比較能力有顯著的提升，但（這兩個遊戲對）數數和計算的效果不明顯。同時，Graphogame-Maths看起來能在數字比較上帶來略微更強且更持久的提升。
儘管Number Race和Graphogame-Maths是基於神經科學研究的適應性遊戲，兩者都不需要學習者操縱數量。而操縱行為對於提供任務目標，學習者行為和針對行為的信息反饋間的內在關係非常關鍵。當一個學習環境提供了信息反饋，它就能使學習者做出根據目標調整後的行動，同時，他們能成為自己的“批判者”，而不是僅僅依賴於老師的指導。這同神經科學中無監督強化學習裡的“Actor-Critic” 模型很相似。這個模型提出在學習機制內部加入一個“批判元素”，而非外在附加的指導，然後評估信息反饋以建構下一個動作。
適應性軟件中開始出現一種截然不同的方法——應用在特殊教育中的仿真操作性任務。這種給予神經科學研究的方法關注數字處理的過程(圖3)。此法中的信息反饋不是一種通過展示正確答案的外在評價，相反，它服務於學習者的內在評價—即要求目標學習者在固定距離內匹配兩個數字棒，如不成功，它能讓學習者自己解讀進一步能達到目標的行動。
適應性軟件的另一個優勢在於，與和一位老師練習相比，學習者能夠在單位時間內訓練更多次。研究發現“特殊教育學習者（12歲）採用Number Bonds遊戲[如圖3所示]，每分鐘完成了4-11次的嘗試，然而在一個配備3名監督學習者的特殊教育課堂裡，在為期10分鐘的觀察時間中，同樣的學習者每分鐘僅僅做了1.4次嘗試”。在另一組11歲的特殊教育小組裡，這個遊戲於13分鐘內引發了平均173次學習者的操縱 (其中答案完全正確的在5分鐘內有88個，因為軟件根據學習者的迴應調整了時間點)。以這種方法，神經科學研究啟示我們在下一代適應性軟件中要重點指向哪些東西。
目前我們尚不確定，如果在早期用正確的方式干預計算障礙，是否能將其轉化為正常計算水平。計算障礙也許跟讀寫困難類似，在學習者不能像正常發育的人一樣做認知處理時，早期干預能夠提升實際效果。
未來面臨的挑戰
認知和發展科學家近來的研究為計算力障礙提供了一個科學的解釋，即：“理解數量”和“對應數字符號與數量間關係”的能力不足。教育科學家開發的個性化學習應用程序可針對性地補救這些缺陷，並可用於為獨立學習設計的手持設備上。由於正常人對數值處理（的能力）也存在差異，同樣的應用程序也有助於尚處入門（階段）的主流學習者。可以預見，所有學習者都將從這一發展中受益。
儘管（關於計算力障礙的研究）已取得了許多進展，一些問題仍有待討論：
計算障礙者所表現出的行為缺陷有多種可能性，因此，就產生了一個非常有趣的問題，即估算數量方面存在的缺陷是否可以作為診斷計算障礙的必要或充分條件。這一問題至關重要，因為它影響到基於識數能力這一診斷評估是否足以（判定是否患計算力障礙）——亦或需要多種評估；它還影響到識數是否是補救治療中唯一值得關注的點——亦或還需關注其他（也許是更偏向符號性的）的行為特徵。
神經科學的測量方法是否具有足夠的靈敏度，能比行為評估的方式更早能夠診斷學習者是否具有計算障礙——就如同其在閱讀障礙中的應用一樣。
我們需要對（提高計算障礙者計算能力的輔助方式）做進一步的研究。即便輔助方式能幫助計算障礙者提高計算能力，但無法證實到底是學習者的認知與神經功能變得更貼近常人，還是其在其他方面形成了補償機制。這需要更多拓展性的研究。可類比的是，在對閱讀障礙來說，功能性神經影像已可顯示成功的行為干預對神經功能模式的影響。
個性化學習應用允許對基於理論的指導干預進行細粒度的評估。舉例而言，針對主動操作與關聯學習，或內在動機與外在動機間價值的評價，可由正交地 控制學習環境中的這些相關變量來實現。這些因素的影響，可由上述操作針對的學習者執行任務的一系列表現進行行為上的評估，也可由結構性或功能性神經影像針對學習者隨時間的神經變化來評估。基於課堂實地而非理論的測試對教育理論的發展具有巨大前景，並可能因此有助於檢測神經科學中的假設。
迄今為止，計算障礙尚未被教師、教學者以及（似乎包括）研究資助機構廣泛關注。受關注可能是為飽受計算力障礙困擾者謀求更好前景的基礎。
社會迫切需要幫助有困難的學習者，使其識數能力足以適應現代社會的工作環境。當前有關計算障礙的研究已指出了一條會大有成效的前行路線，但對接受資助而言，仍是“弱關係”，即缺少基於實證的干預方法。瞭解大腦如何處理數字和算術概念，有助於專注培養學生獲取關鍵概念知識的教學方法研究；也有助於專注跟蹤干預後的結構上和功能上的變化的神經科學研究。瞭解如何幫助這些學習者正在、並將繼續帶領科學走向下一步。
>>聲明
本翻譯僅作了解之用，並非用於學術研究或商業決策。閱讀本論文，需讀者具有一定的認知科學、神經科學的相關儲備。芥末堆海外翻譯社群的小夥伴們力求將關鍵理念與思想更廣泛地傳播至中文區域，故部分表達可能與原文有所差異。如需使用，請查證原文。