為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

1638年,意大利數學家伽利略(Galileo,1564-1642)提出了一個對數學影響深遠的物理問題——“最速降線問題”


一個質點在只受重力作用下,從A點運動到(不在其豎直下方的)B點,問沿著什麼曲線滑下所需時間最短.


為了找出上面的“最速降線問題”所描述的曲線,讓我們先來看看常見的一些曲線——線段、拋物線、圓、橢圓等。哪一個最有可能呢?

根據“兩點之間線段最短”的數學原理,“最快路線”會不會是線段呢?答案是:不會。伽利略在《論兩門新科學》中已經給出了這樣一個明確結果:質點從A點沿圓弧要比沿直線運動先到達B點。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

線段不是“最快”的

那圓弧就是要找的曲線嗎?伽利略很肯定的回答。但很遺憾的是,這次伽利略失算了。因為在17世紀末期,約翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667 - 1748)等數學家證明了:最速降線不是我們所常規見到的任何一種曲線,而是一條連結A,B兩點的上凹的旋輪線(又稱圓滾線或擺線).

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旋輪線的形成動圖

旋輪線:一個圓沿一條直線運動時,圓邊界上一定點所形成的軌跡.

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

現在看來,“最速降線問題”是17世紀物理學中諸多運動問題中的一個,雖然伽利略沒能很好的解決這個問題,但是他關於運動的研究卻產生了一個對數學影響深遠的概念——函數。

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一、以曲線為基礎的函數

◎從靜止狀態開始以定常加速度下降的物體,其經過的距離,與所用的時間成正比.

◎沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體,其下滑的時間與平板的長度成正比.

伽利略在他的《論兩門新科學》一書中,用上面這樣的“文字和比例的語言”來表達函數關係.

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用現代的符號表示,第一句話描述了落體運動的兩個變量:距離s、時間t之間的函數關係. s=k·t^2.而第二句話描述了物體下滑中的兩個變量:時間t、距離s之間的函數關係:t=k·s.

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

伽利略關於函數的研究,只差將文字轉化為符號表示了,而同時期的數學家笛卡爾已提到一個變量對另一個變量的依賴關係,但仍舊沒有使用符號,並且這裡的變量只能是正數。為什麼他們都不使用簡潔、易懂的符號語言呢? 答案是,並非不想,而是壓根沒機會,因為當時代數“符號”的使用並沒有得到現在這樣的發展和普及.

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

儘管16世紀的韋達在代數、及符號上已經做了很多工作,17世紀的笛卡爾和費馬也通過解析幾何將幾何問題代數化。但是整個17世紀,仍然是以“幾何”為基礎構建數學知識的,“符號”在數學、物理的工作中仍然還不夠普遍. 因此,在這段時間,關於函數概念的引進,大部分都是被當做曲線來研究的.函數中的變量也經常以“線段”的形式出現。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

在引入了幾何形式的函數概念後,很多曲線在17世紀得到深入研究。如,正弦曲線、對數曲線、指數曲線、懸鏈線、旋輪線等。其中,關於“旋輪線”的研究產生了數學史上的第一條“正弦曲線”(1/4個週期).關於固定兩端的懸索的形狀研究產生了“懸鏈線”、“最速降線問題”產生了旋輪線.而對數函數也被作為指數函數的反函數而重新定義。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

到了這個世紀末期,牛頓、萊布尼茨把曲線看成動點來研究,並在函數的基礎上構建“微積分”,讓函數概念在曲線的大前提下有了更深刻的含義,並徹底鞏固和確定了函數作為接下來3個世紀的數學“中心”概念,但是他們眼中的函數仍然依託於“曲線”而存在的. 牛頓使用“流數”((fluxion))來表示變量間的關係,而萊布尼茨使用的我們現在仍在使用的“函數”(fuction)一詞。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

總之,17世紀是函數概念的起源時期,它從開始的“文字”描述到之後的依附於曲線的研究,最後到支撐微積分的發展,實質上都是在討論幾何範圍內某些變量之間的依賴關係.這是數學概念發展的內因促使,但同時也是當時以“幾何”為基礎的數學研究所導致的必然結果。但隨著“代數”地位的逐步提升,18世紀的“函數”概念有了明顯的變化;同時,“函數”作為數學中心概念的進一步確立,也讓代數超越幾何走到數學的更前沿。

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二、以單一表達式為基礎的函數

18世紀,大部分的初等函數和部分超越函數已得到很好的研究,但依託於“曲線”的函數概念已不能滿足數學發展的需求。於是,約翰·伯努利和歐拉作了重要的嘗試,將“函數”作為單獨的個體(而非依託於曲線或幾何)來研究。

歐拉在他的數學鉅著《無窮小分析引論》中,將函數概念“公式化”——“由一個變量和一些常量,通過任何方式形成的解析表達式”,強調函數要由一個表達式來表示。如z, z^2+1, √z+2等都是z的函數.另外,歐拉還定義了sinz,e^z,logz等函數,一個重大變化是將正弦函數定義為數值比而非線段,並且使用符號f(x)來表示函數。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

正弦函數

以此為明顯開端,函數從(幾何的)曲線中分離了。但是從歐拉關於函數的定義上也可以看出,當時的函數具有“唯一表達式”,沒有分段函數的概念,也不允許一個函數有兩個表達式。

隨著研究的不斷深入,人們發現了一個函數有時並不是由一個表達式來表示的。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

隨後關於波動理論的研究,歐拉也進一步發現了這個定義的侷限性:波動理論所導致的方程也不能用一個表達式來表出。這對函數的當前概念提出了嚴峻挑戰——要使得新的研究變得更合理,函數需要一個恰當的延拓,這是下一個世紀數學家的任務。

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三、建立的對應關係下的函數

19世紀,柯西從定義變量開始給出了函數的定義:

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在柯西的函數定義中,第一次的引入“自變量”一詞.在此基礎上,1837年,德國數學家狄利克雷(Dirichlet,1809-1859)大膽提出:


對於在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個確定的值,那麼y叫做x的函數。


狄利克雷的函數定義強調“運動”與“變化”,而怎樣去建立x與y之間的依賴關係並不重要。也就說,函數並不一定要有解析式。這是對18世紀“唯解析式”論的巨大挑戰。而最終,狄利克雷的函數概念得到了大眾認可而成為“經典概念”。

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四、集合理論下的函數概念

但是到了20世紀,“集合論”的誕生,讓函數概念的發生了巨大變化。以前函數是構建數學的中心。但是現在數學大廈建立在了“集合論”的基礎上。1930年,現代數學正式定義函數:若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在幾何M上定義一個函數,記為f.元素x稱為自變量,元素y稱為因變量. 該定義自產生就得到數學家們的一致認可,從此以後,函數的概念就再無新的重要變化。

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五、中文“函數”的來源

函數的概念從17世紀誕生開始,在西方得到迅猛發展,促使了像“微積分”等重要數學內容的發現。但是在我國,要直到19世紀,才通過傳教士的引入、李善蘭翻譯而被認知。李善蘭在其著作《代數學》中寫道:“凡此變數中函彼變數者,則此為彼之函數”。由此開始funtion被翻譯為“函數”一詞。

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

總之,函數的概念起源於17世紀對運動的研究,經過18、19世紀的發展,到了1837年,狄利克雷從“運動”的角度給出了函數的“經典定義”——這也是現在初中教材中的定義,它強調了變量之間的關係離不開運動和變化。但是集合作為數學新的基礎的發現,最終20世紀從“集合與對應”角度抽象出的函數概念被廣泛認可與使用——這也是高中數學教材中的函數定義,該定義除了對“變量”關係的肯定外,還揭示了變量間的“對應”關係這一重要本質.

為什麼初中學了“函數”概念,到了高中還要重新定義?

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