興衰成敗兩百年：高斯、黎曼背後的哥廷根數學學派

提到數學的發展，哥廷根數學學派是無法忽略的，哥廷根數學學派在 200 年的時間裡為數學界貢獻了半壁江山。而哥廷根學派的興衰除了標誌著數學中心的轉移，也標誌著從工業革命開始興盛，主宰世界 200 年的歐洲開始衰弱，不再是科學的中心，科學家心中的殿堂。

1734 年，文藝復興的思潮已經浸染整個歐洲大地，那時，漢諾威王朝統治德國漢諾威地區以及整個英國土地。身為英國國王及漢諾威大公的喬治二世決定委派其重臣馮·明希豪森在德國哥廷根創辦一所大學，旨在弘揚歐洲啟蒙時代學術自由的理念。

哥廷根大學也因此一開歐洲大學學術自由之風氣。大學創辦之初，即設有神學、法學、哲學、醫學四大經典學科，尤以自然科學和法學為重。

哥廷根大學成立 61 年後，在1795 年，一位 18 歲的少年來到了哥廷根大學求學，那個時候的哥廷根大學怎麼樣也不會想到，自己的命運居然會因為這個少年的到來而發生重大的改變。

這個少年就是高斯，被譽為數學史最偉大的天才之一，彷彿是“數學之神”的阿基米德的轉世一般，高斯自小就顯示出強大的數學天賦，高斯三歲的時候，當時高斯的父親在貴族的家裡當工頭，在核算工人們的週薪，高斯看了一眼賬本，就已經能夠幫父親糾正賬目的錯誤。

在高斯11歲時，因為自己的聰慧，他的老師和他的母親將高斯舉薦給了布倫茲維克公爵卡爾·威廉·斐迪南——他人生中最重要的伯樂。

也正是因為有了公爵的幫助，高斯才得以進入哥廷根大學求學。 1807 年高斯成為哥廷根大學的教授，由此成為了哥廷根學派的開山祖師。

高斯雖然並不熱愛教書，但是他還是為哥廷根學派培養了眾多的數學人才，讓哥廷根學派在短短几十年的時間裡得到迅速的發展，為德國成為世界科學中心和數學中心創造了條件。自此之後，哥廷根在很長時間裡一直都是學術的中心。

高斯是一位多產的數學家，他將哥廷根學派帶上了一個高峰，高斯他對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。

高斯的幾大成就，你看得懂嗎

以他名字“高斯”命名的成果達110個，屬數學家中之最，比如說高斯分佈（正態分佈），高斯模糊，高斯積分，高斯整數，高斯消元，高斯曲率，高斯濾波器，高斯引力常數。可以說大物裡有高斯、高數裡也有高斯、幾何裡也有高斯、….你閉上眼睛，在理工科(技術類)書籍裡隨便挑一本書。裡面一定能找到Gaussian這麼個名字…你隨便拆一個app看代碼。，一定有不止一個公式（或者包裡的公式）和高斯有關。

高斯濾波器

這還是高斯並沒有把自己所有研究成果全部發表出來的情況下，高斯是一個非常謹慎的人，他對自己的工作態度是精益求精，非常嚴格地要求自己的研究成果。他自己曾說：寧可發表少，但發表的東西是成熟的成果。許多當代的數學家要求他，不要太認真，把結果寫出來發表，這對數學的發展是很有幫助的。

貝爾曾經這樣評論高斯：在高斯死後，人們才知道他早就預見一些十九世紀的數學，而且在1800年之前已經期待它們的出現。如果他能把他所知道的一些東西洩漏，很可能比當今數學還要先進半個世紀或更多的時間。

1855 年高斯去世，高斯的學生狄利克雷作為高斯的繼任者來到了哥廷根大學任教，是解析數論的創始人。對函數論、位勢論和三角級數論都有重要貢獻，他經常參加以傅里葉為首的青年數學家小組的活動，深受傅里葉學術思想的影響，可以說緊密團結了一大批的歐洲數學家。

然而僅僅 3 年之後，1858年夏他去瑞士蒙特勒開會，作紀念高斯的演講，在那裡突發心臟病。狄利克雷雖平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，於1859年春與世長辭，年僅 54 歲。

狄利克雷去世之後，高斯的另一位天才學生黎曼成為了哥廷根學派的領袖。

黎曼是一名非常極具創新精神的數學家，他在十幾歲的時候就曾只用6天的時間讀完了厚達859頁的勒讓德數學名著《數論》，他擅長對概念的創造與想象，黎曼ζ函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路迴環矩陣都是他的成果。

1854年，黎曼發表了《論關於作為幾何學基礎的假設》，黎曼幾何由此誕生。黎曼幾何不但導致了另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生；而且，更出乎意料的是，它竟然在半個多世紀後引導愛因斯坦成功地創立了廣義相對論。如今，黎曼幾何已成為理論物理學必備的數學基礎了。

黎曼

1859年，黎曼被選為選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為《論小於已知數的質數個數》的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

然而，天妒英才，黎曼的學術生涯只有短短16年，1866 年，40歲時黎曼就不幸去世。

在狄利克雷和黎曼都過早隕落，缺乏繼承人，哥廷根學派一時之間群龍無首，進入了短暫的沉寂。

19世紀70年代，普魯士統一了德意志。德國為了趕英超法，德國政府在國內大力實行鼓勵科學發展的政策，大量的人力與財力支援辦好哥廷根大學，眾多的科學人才都紛紛來到哥廷根，18 66 年，哥廷根大學鄭重邀請克萊因來到哥廷根，成為哥廷根學派的領袖，由此開始了哥廷根學派的中興之路。

當時克萊因已經是蜚聲歐洲的大數學家，他擅長把物理概念用在函數理論上，他提出的將各種幾何用它們的基礎變換群來分類的愛爾蘭根綱領曾一度影響數學界的發展，大家最熟悉克萊因的應該就是克萊因瓶了。

為了實現哥廷根學派的中興，克萊因認為不破不立，哥廷根的數學必須有新的領軍人物，才能找回自己昔日的榮耀。克萊因的原則是聘請年輕的新星，而不是那些已經成名的數學家。

兩者的區別在於年輕的數學家更富有創造性的思維、更加具有激情投注於數學事業至上。克萊因的選才標準日後也成為哥廷根的數學傳統，在哥廷根這些老一輩數學教授退休或去世後，他們的繼任者都是清一色的數學新星。

克萊因的眼光可謂毒辣，他一眼就發現了被譽為”數學之王“的希爾伯特，1895 年，克萊因提議並說服了德意志教育文化部和哥廷根教授會聘請希爾伯特來繼任著名物理學家、高斯最要好的夥伴韋伯的職位，當時希爾伯特只有 33 歲。

而在克萊因的手裡，哥廷根學派發展出來了三大派別，以普朗克、索末菲為首的哥廷根物理學派，特別是在索末菲的帶領下，索末菲一生獲得 81 個諾獎提名，卻終生未得諾獎，他直接教導的學生就有 9 位獲得諾獎。由此19世紀末-20世紀初，這一時期，哥廷根大學在全歐乃至世界上的學術地位達到了頂峰。在這半個世紀從這裡走出的諾貝爾獎得主人數位居世界大學第八位，創造了“哥廷根諾貝爾奇蹟”，成為了世界物理的研究中心，愛因斯坦這些大牛都曾來到哥廷根進行交流研究。

然後就是普朗特為首的哥廷根流體力學學派，哥廷根流體力學學派由馮·卡門在美國發揚光大，高曉鬆的外婆、中國第一個空氣動力學專業奠基者陸士嘉；兩彈一星元勳錢學森、郭永懷；中國力學之父錢偉長；中國近代力學奠基人周培源都是出自哥廷根流體力學學派。

普朗特、馮·卡門、錢學森一門三代

然後就是哥廷根數學學派，哥廷根數學學派在希爾伯特的手裡甚至超越了高斯時期，達到了前所未有的巔峰，希爾伯特在哥廷根任教授期間，他先後在幾何學公理化、變分法、積分方程和數學基礎方面做出了巨大的貢獻，引領著數學的發展。

除此之外，希爾伯特與愛因斯坦之間就廣義相對論曾展開了激烈的思想碰撞，1912年，愛因斯坦探尋廣義相對論時候遭遇了困難，愛因斯坦研究廣義相對論的目的是要找到描述兩個相互交織過程的數學方程式——引力場如何作用於物質，使之以某種方式進行運動； 物質又如何在時空中產生引力場，使之以某種形式發生彎曲。然而愛因斯坦一直沒有找到完美描述其物理原則的數學表達式。

所以愛因斯坦求助了希爾伯特，兩個人在 3 年的時間裡進行了激烈的討論、碰撞，1915 年 11 月 15 日，愛因斯坦終於取得重大突破想到了描寫廣義相對論的精確方程，與此同時，希爾伯特也獨立地完成了這項成果，得知愛因斯坦已經找到答案，希爾伯特大方地讓出了優先權。

希爾伯特最偉大的成就是提出了“希爾伯特問題”，1900年，這是19世紀的結束也是一個新的世紀的到來。在這次巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演，表示他將領導新世紀的數學新潮流。

他根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢而提出了23個問題，這23個問題統稱希爾伯特23問。希爾伯特問題可以說成為了20世紀數學發展的一盞明燈，為數學的未來探索指引了一條方向。

直至今日，希爾伯特問題依然是成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用。

如今希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以得到解決的信念，對數學工作者是一種巨大的鼓舞，也激勵著數學家們前赴後繼去探索數學未知的領域。

而希爾伯特在領導哥廷根數學學派上，憑藉著自己無與倫比的魅力吸引著世界各地的年輕人像朝聖般地奔向哥廷根，光他指導的博士就有七八十人。大批青年學者湧向哥廷根，不僅從德國、歐洲，而且來自亞洲，特別是美國。據統計，1862—1934年間獲外國學位的美國數學家114人，其中34人是在哥廷根獲博士學位的，那個時候很多有影響的論文都是用德語寫的。廷根學派成為了世界數學家的搖籃和聖地，是國際數學中心。

當時全世界學數學的學生中，最響亮的口號就是“打起你的揹包，到哥廷根去”。

那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基為狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，併為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。

這個時候的哥廷根群星璀璨，熠熠生輝，大家都自由徜徉在數學的殿堂之中，任憑思想的火花碰撞。

然而到了 1933 年，突然的浩劫降臨，毀滅了哥廷根數學學派，那一年，希特勒上臺了，頒佈了一系列針對猶太人的法令。由於不少哥廷根大學的教授都是猶太人，導致不少猶太裔的教授出走。絕大多數哥廷根派的教授逃亡美國。如諾特、柯朗、馮·諾依曼等。

哥廷根數學學派遭受了重大的打擊，僅剩希爾伯特苦苦支撐，1943年希爾伯特在孤獨中逝世。

希爾伯特之墓

哥廷根學派徹底凋零，諾特的得意門生範德瓦爾登豎起了哥廷根數學學派的大旗，也算是培育了一批數學家，然而已然無法挽回哥廷根數學家的命運，1996 年，範德瓦爾登去世，哥廷根學派徹底消寂。

而諾特、柯朗、馮·諾依曼等人遠走美國，之前在哥廷根留學的眾多美國學子也因為二戰紛紛返回美國，再加上菲爾茲的努力， 1924年在多倫多召開的國際數學家大會促進了北美的數學發展和數學家之間的國際交流，再加上希特勒的暴政，北美的數學得到了快速的發展。

後來，外爾和馮·諾依曼在美國的普林斯頓高等研究所任教授，柯朗在紐約大學任教，共同創辦了舉世聞名的應用數學研究所。普林斯頓取代哥廷根成為世界數學的中心，美國由此徹底取代了歐洲的學術中心地位，成為了國際數學中心，一直至今。

馮·諾依曼等人後來更是帶領人類進入了核武器以及計算機時代，掌握了大批人才的美國擁有著眾多的專利技術，由此掌握了全球經濟、軍事的話語權。

哥廷根學派的輝煌得益於重視學術交流，擁有自由、平等的討論和相互緊密合作的學術氣氛，而大膽啟用眾多普遍年輕，思想活躍，富有創造性的數學新星是哥廷根學派充滿活力的一個重要原因。

在這 200 年的時間裡，著名數學家阿廷、應用數學家費裡德里希、希爾伯特第3問題解決者德恩、隨機過程論創始人之一費勒、數理邏輯學家哥德爾、完善實數理論的戴德金、著名數學家雅可比都出自哥廷根，此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等一大批傑出的數學人才湧現。（上面列舉過的名字這裡不再列舉）

哥廷根數學的衰弱也可以看出歐洲已不再是世界的中心，人才紛紛外流到更加強大、經濟更有活力的美國。所以，如果想要學術發展，唯有大力發展經濟，增強綜合國力，這樣人才自然會被吸引而來。

哥廷根數學學派 200 年的興衰史也是歐洲 200 年來的興衰史。