（文：劉雪峰）

​我經常去學校的自提櫃拿快遞。

自提櫃

有經驗的同學都知道，自提櫃是這麼一套操作流程：

• 快遞到了之後，物流系統會給你發一個提貨碼，例如D333EA。

• 你在自提櫃的屏幕上輸入提貨碼，則對應的儲物盒會打開。

• 你拿到快遞。

這套流程很好理解，但是，你有沒有想過一個問題：

一排自提櫃有好幾百個，如果我在自提櫃前反覆輸入嘗試，或者，我按自提碼時，按錯了幾個數字，那麼我會不會碰巧打開別人的櫃子？

不會！

為什麼呢？

概率分析

假設，這個自提櫃有1000個櫃子，每個櫃子有一個6位密碼。

密碼的每一位只包含數字0～9或字母A～Z。

假設，你隨機亂按，那麼，

你按多少次，可以打開一個櫃子呢？

這是一個概率問題。

首先，6位密碼，每位的可能性有36種，那麼，胡亂按一次，按中的概率為：

那麼，一次能打開1000個櫃子中一個的概率為：

現在我們來計算一下，需要按多少次，你才可以有10%的概率打開其中一個櫃子。

這個次數n的計算公式是這樣的的：

計算得，

n ≈ 210720

大概是二十一萬次。

假設小明10秒鐘按完一次，那麼，小明就是不吃不喝，得在那按超過一年半，

還只是達到10%的概率。

稀疏性是什麼

我們拋開上面的複雜計算，來重新思考一下：

為什麼概率這麼低呢？

從向量空間的角度來看，提取櫃6位的提取碼，是6維空間中的一個點。

這1000個提取櫃的提取碼，是這6維空間中的1000個點。

這6維空間的所有的可能的點，我們是完全知道的（無非就是10個數字和26個字母的組合，這1000個點都逃不出這個空間。

但之所以難試出來，就是因為空間太大，而這1000個點太稀疏了。

可謂是滄海一粟。

稀疏性，就是提取碼可靠的關鍵。

其實，稀疏性無處不在。

中國有一句古話，叫，

大道至簡；

還有一句話叫，

道生一，一生二，三生萬物。

這些思想都是說：

很多看起來複雜現象的背後，其規律，是稀疏而簡單的。

大家聽說過歐氏幾何吧，就是我們中學接觸的相似三角形、射影定理之類的理論。

歐氏幾何一共有五條公設和五個公理，這其實是歐幾里得的硬性規定。

然後，他的整個幾何世界和所有定理，都是從這幾條公設和公理中推導出來的。

就這麼幾條公理，竟能一路推推推，推出厚厚的前六卷《幾何原本》來。幾何世界千變萬化，大自然中的幾何圖形更是無窮無盡，都逃不過上面這簡單的幾句話。

還有我們學過的牛頓三定律。

牛頓的力學定律非常簡單，就三句話，初中生就能學會。但是，這簡單的三句話，卻可以解釋小到一塊石子、大到一顆星球的運動規律，而且，以當時的觀測條件，理論計算的結果很精確。

圖像處理

關於圖像的稀疏性，我來舉個例子。

如果我們要存儲很多高清圖片，而又想節約存儲設備，那麼，我們可以：

對圖像進行奇異值分解。

然後，在儘可能保證圖像可被識別的前提下，只保留奇異值較大的若干項，捨去奇異值較小的項即可。

比如，這個小女孩的灰度圖的例子，

用奇異值分解的前100項之和復原的圖像

該照片原始文件的分辨率為1600*1200（文中展示的並非原始文件），如果直接存儲，則我們需要一個1600*1200的矩陣，消耗的存儲容量為1600*1200，接近200萬個格子。

而如果我們只保留奇異值分解的前100項，那麼，需要存儲的元素僅為，

100*( 1600+1200)

僅相當於直接存儲所需容量的15%。

這就是奇異值分解在圖像壓縮中的一個應用。

而圖像（照片）之所以能夠被壓縮，是因為圖像本身的模式，也是稀疏的。