歐拉起初的驚人之舉是給出了平方數的倒數和等於π^2/6,與歐拉同時代的數學家都沒能解決這個問題,所以歐拉在1734年給出這一結論時,曾引起轟動。因整個數列中沒有圓的蹤跡,結果卻出現了π,也很讓這個結果吸引眼球。
現在就來探討這個級數鮮為人知的數學魅力。
首先在不知情的情況下探討這個無窮級數是否會收斂呢?
變形:將每個數寫成兩個乘積形式然後向後移一項,如下藍色部分
發現:綠色部分是一樣的,藍色部分上面比下面的小
綜合得出:紅色部分的級數要比歐拉級數的和要大
聰明的你會看出:兩個數乘積等於兩個數之差
整理:
得到:
所以最終得到無窮級數的和:
所以歐拉級數是收斂的:
熱身結束了,我們怎麼來證明歐拉級數準確數值呢
首先sinX=0是個三角函數方程,那麼X解肯定有無窮多個,可以寫成:
學過導數的話,對sinX求一次導數,二次導數:
在X=0時得到b的值:
以此類推不斷求導,我們就計算出了sinx方程的所有係數得到:
所有的函數都可以這樣來構造成級數的形式,一次方程,二次曲線方程都可以。
歐拉從另外一種思路構建sinX的多項式:
sinX方程的根是:
-π到π之間含有sinX=0 方程的三個解: 0,π-π,其次用曲線來逼近正弦函數,所以多了一個係數c,最終形式為:
只要逼近曲線在sin函數所在的0點斜率相同,就能完全吻合:觀察不難得到C值:
整理得到
以此類推得到以根的形式表示sinX的多項式
那麼sinX有兩種表達式的形式,而且是相等的
我們將根的多項式一項一項乘下去發現:
得到:
這就是歐拉級數的原理
比較X^5的係數你就會得到:
繼續觀察就會得到著名的沃利斯級數:
沃利斯級數中:分子是全體偶數平方的乘積,分母是全體奇數平方的乘積,所以非常神奇。
這都是歐拉級數原理中所展現出來的數學魅力。
相關推薦
'聚焦勾股定理中的數學思想'
"一、方程思想所謂方程思想,就是通過觀察,分析,判斷,從已知量和未知量之間的位置關係或數量關係入手,找出等量關係,運用數學符號語言將相等關係轉化為方程,再通過解方程把問題解決.例1 如圖,將矩形紙片ABCD的一邊AD向下摺疊,點D落在邊BC上的F處,已知AB=8,AD=10...
數學
2019-09-18
'談談在數學教學中如何培養學生的數感'
"數感的培養在數學教育中起著重要的作用義務教育階段的數學教育要面向全體學生,數學教育的目的在於提高學生的數學素養。作為公民素養之一的數學素養,不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的。學生學會數學地思考問題,用數學的方法理解和解釋實際問題,能從現實的情境中看出...
'放棄數學等於放棄中高考!三步走入數學大門,成績考上120分'
"很多學生一談到數學就口誅筆伐,一提起數學就叫苦連天。但是光叫苦有用嗎?你能躲得開數學嗎?無論是文理文科,還是新高考的選科,數學都是必考科目,你永遠都繞不開數學。一位有20年教齡的高中數學老師曾說:高考數學試卷120分以下的,都屬於數學根本沒有入門的。別再為自己學不好找理由...
'歐冠分組有貓膩?歐足聯的小算盤誰能知曉,足球中的數學歐冠篇03'
"隨著新賽季的歐冠附加賽結束,令人激動的正賽也隨之開始,本次歐冠的分組可謂是幾家歡喜幾家愁,巴薩又一次進入了死亡之組,而賽前被公認的大禮包,最弱一檔球隊的聖彼得堡澤尼特卻十分幸運地進入了一個實力平均小組。有人說歐冠分組靠的是運氣,也有人認為歐冠分組抽籤儀式就是走個形式,歐足...
'勾股定理應用中蘊含的數學思想'
" 勾股定理是初中數學中的一個重要應理,它是溝通幾何與代數的橋樑,也是反映自然界基本規律的一條結論.在運用勾股定理解題時,若能正確把握數學思想,則會開闊解題思路,優化解題過程,同時也能加深對數學概念、公式、定理的理解.下面舉例說明勾股定理應用中蘊含的數學思想,以作參考. 一...
'如何在數學教學中培養學生舉一反三的能力?'
"舉一反三,實際上是數學思想反覆運用累加從量變到質變的過程。我是王老師,專注於小學數學,很高興為您答疑解惑!分享解題策略,推廣趣味數學,提供家庭輔導建議,歡迎您的關注!首先教學要從知識,方法上升到思維層面。備課時,自問你要教會孩子什麼思維方法?如果在教學活動中不有意去引導,...
'韓媒爆多名數學家驗證《PD48》投票有造假嫌疑,Mnet表示調查中'
"《PRODUCEX101》才剛結束不久,Mnet便因為遭控告得票數、總排名造假而遭韓國檢方大動作搜索Mnet總部並扣押相關資料,讓透過本季節目最終確定出道的X1成員,還未展開演藝生涯便先蒙上一層灰。(51韓團 原創文章)堪稱韓國近年來最大的實境選秀綜藝《PRODUCE10...
'看似人為操作,實屬必然現象——彩票中的數學'
"關注彩票開獎的人從每期開出的號碼中可以發現這樣一個現象:連續兩期開出的若干個號碼中,經常出現有相同的號碼。也就是說,今期開出的號碼與上期開出的號碼常常出現一個或幾個相同的號碼,有人覺得出現這種現象有點怪,而事實上一點都不奇怪,因為出現這種現象是一個大概率事件,這個概率究竟...
'數學啟蒙家長必學:在數的拆分和組合中培養孩子的數學思維'
"給小小孩啟蒙數學的時候,數的拆分和組合是一個很重要的內容,它是小朋友學習加減法運算前的必要準備。主要問題有這些:數的拆分和組合有什麼相關的遊戲嗎?數的分合要怎麼教,是讓孩子把它們背出來嗎?昨天剛剛教過孩子數的拆分,為什麼他今天就全忘記了?從教菲菲的經驗來看,學習數的拆分和...
'小學數學試卷中經常遇到的一些陷阱,請家長收藏好給孩子輔導'
"導語:小學數學試卷中給孩子設的陷阱,家長可以拿去給孩子輔導,讓他輕鬆跳出這些“坑”。正文:小學是孩子數學學習打基礎的階段,理論上說不是特別難。很多孩子學得輕輕鬆鬆,都能考個98或99分。當然,也有很多孩子堪堪在及格線邊緣徘徊。很多家長就在微信留言:“我們家孩子平時做數學計...
'小學數學學習中最讓人頭疼的15個問題!掌握後,讓人豁然開朗!'
" 小學數學最頭疼的15個問題1.最小的一位數是0還是1?這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁“關於幾位數”的敘述:“通常在自然數裡,含有幾個數位的數,叫做幾位數。例如“2”是含有一個數位的數,叫做一位數;“30”...
'埃舍爾:藝術世界裡的數學家,數學家中的藝術天才'
" “I’m always wandering around inenigmas.” (我永遠都在神祕中徘徊) ——毛裡茨·科內利斯·埃舍爾想象中的世界、不可能的樓梯、荒謬的走廊、神祕的圖案等等都是用來形容荷蘭藝術家毛裡茨·科內利斯·埃舍爾(Maurits Cornelia...
推薦中...