圓周率乘以一個數能變成有理數麼?
圓周率變成有理數
這個問題的腦洞確實不小,要了解這個問題,我們必須要從圓周率的π的根本說起,
π是圓中周長與直徑的比值。若要用計算公式來表示它,恐怕隨便一找成百上千個是不成問題的。
首先π不是有理數,這個證明比較早,π不可以用任何一個分數來表示。那麼π肯定就是個無理數了,它究竟是一個什麼樣子的無理數呢?它不是任何一個有理係數的多項式方程的根,這句話怎麼理解?我們見過很多的三次,五次方程的根,假設你可以找到這個方程的根式解,那麼我們一定會發現,這個根是由許多個不同次方根組合而成的。比如根號3,三次根號5等等,我們通常把這些數成為代數數。1882年,數學家林德曼證明了,π不會是任何有理係數多項式方程的根。也就是說,π已經超過了代數數的範疇了,於是我們給π起了一個更高大上的名字——超越數。
很明顯,超越數的段位要比無理數,有理數要高得多。回到這個問題的本質上來,讓π成一個數,使得這個數變成有理數?其實這個問題關鍵就在於怎麼構造這個乘數,那乾脆我們就×1/π好了,兩個數字互為倒數,當然乘出來就是有理數了。
好了,如果我們拋棄上面的小伎倆,用一種嚴肅的方式來考慮這個問題,你很容易也就發現,除了那些刻意構造的數之外,任何數和π相乘都不會是有理數。π雖然如此實實在在地存在,但是它彷彿就是不合群,不願意與那些普普通通的數字為伍,我是超越數,無論你怎麼操作,我還是超越數。。。
當然能!
比如:π * (1/π)=1
你總不能說(1/π)不是一個數吧!
不過,如果要求與之相乘的數必須是非零的有理數的話,那就真的沒有了。π本身是無理數,無理數乘以一個非零的有理數,它的積肯定不是一個有理數。
另外,如果要求與之相乘的數可以是無理數,但它的表達式裡面不允許出現π本身,也不允許出現任何一個與π相關的衍生數(即:以π為基礎來進行定義和表達的數),這樣的話,我感覺答案很可能同樣是:沒有這樣的數。除非你把某些被證明與π存在數學聯繫的事件概率定義為數。
補充:
還有一個絕對沒有爭議的答案,就是零!
最常見的解答反而最容易被人遺漏!暈
要用到高等數學中的無窮級數。你大學上數學專業就會知道怎麼回事了。
簡單的說,
有理數都可以表示成m/n的分數形式(m,n為整數)
而無理數則不能,設它=m/n必會推出矛盾
所以一個實數要麼是有理數,要麼是無理數
從小數的角度講,有理數是有限小數或者是無限循環小數;而無理數是無限不循環小數。
圓周率的無理性是1761年Lambert證明的,1882年Lindemann證明了圓周率是超越數,有興趣可以去看看相關文章
另外,圓周率甚至不是一個代數數,也就是說,不能由1-9經過有限次的加減乘除乘方開方運算表示出來(這樣的數叫超越數,超越數都是無理數),所以到目前為止只能寫成π=3.14159265358979……
今後你還會學到一個很常用的數e=2.71828…也是一個超越數。
並且,無理數遠不止這兩個,事實上,有理數的個數相對於無理數的個數來講,等於沒有。
數學是很有趣的,要帶著問題去學:)
圓周率乘以一個數能夠變成有理數嗎?
能,並且有無窮多個這樣的數。舉個例子就能說明。最簡單的是0和π的倒數1/π。0就是一個有理數,任何數乘以0,都是有理數。一個數和其倒數相乘,結果唯1。除此之外還有π^-1、1/(2π)等形式。
為什麼說有無窮多個?因為有理數的個數有無窮多,π的倒數乘以有理數倍,就能構建出無窮多個無理數。總之就是要構造一個數,使其與圓周率相乘,最後結果為有理數。
圓周率是圓的周長與直徑之比,它是一個無理數。無理數是一個無限不循環小數,不能表示成兩個整數之比m/n(其中m和n都為整數,n不能為0)。
無理數和任何有理數不為0的有理數相乘,其運算結果還是無理數。而無理數和無理數相乘,其結果就不一定是無理數了。 其實除了乘法,任何一個不為0的有理數和無理數進行加減乘除,其結果都還是無理數。
不管是有理數還是無理數,他們的個數都有無窮多,但是無理數的個數卻比有理數要多許多。舉個簡單的例子說明一下。因為有理數與有理數之間進行加減乘除運算時,其結果還是有理數;而非0有理數和無理數之間進行加減乘除時,其結果都是無理數;無理數與無理數之間進行加減乘除運算時是結果,結果幾乎還是無理數。
圓周率除了是無理數之外,還是無理數中的超越數。超越數是指不滿足任何整係數多項式方程的實數,定義與代數數相反。
下圖為整係數多項式方程的一般形式:
除了圓周率以外,自然對數的底e,也是一個超越數。所有的超越數都是無理數。超越數雖然有無窮多個,但要構造一個超越數或論證某個數是超越數就極為困難。現今只有少量的數如π和e等的超越性得到了證明。
下圖為人為構造的超越數:
本文由科學探索菌創作,未經授權請勿轉載。如果大家有更多精彩見解,歡迎轉發評論。您的點贊,就是對我最大的支持。關注我,可以獲取更多精彩內容。
圓周率=圓周長÷直徑:π=c/d...(1),:圓周率是圓周曲線與直徑直線的超對稱係數。
將(1)改寫成:π/2=½c/d...(2),表明:2維半圓的投影=1維直徑,其投影係數π/2。
圓周率的平面解析特徵
其一:π是純二維的,不是多維的;
π不是三維曲線,不像撓曲的螺線管;
其二:π是可封閉的,不是開放的;π不像e螺線具有發散性或收斂性。
螺線有連續變化的曲率半徑。π是光滑的,不是曲折的;π沒有拐角那樣的急轉彎;
其三:π與方根無關;π與方根的運算不可能是有理數。方根無理數只存在於直角三角形。
但直角三角形總可以有外接圓與內切圓。
其四:π有固定的曲率半徑,不像其它的圓錐曲線,有連續變化的曲率半徑。
拋物線、橢圓、雙曲線,其足夠小的局部,是若干圓周曲線。
圓周率×某數≠有理數
必須有兩個規定或例外,即:
規定1:凡基於“絕對零(0)”的零(0)、無窮小(1/∞)與無窮大(∞)的偽數值,皆無意義。
因為:絕對零≡虛無,而虛無在物理世界中不存在,否則會導致神邏輯。這本該在數學公理集中作為一個公理或公設的。
規定2:乘以一個數(k),不包括乘以一個數的倒數(1/k),否則就不是“乘以”而是“除以”而違背同一律,或偷換概念。
求證:πk≠R(有理數),已知或公設:①π=無理數,②k≠{0,1/∞, ∞, 1/k},
證明如下:
①當k=複數值,顯然πk≠R。∵複數含虛數,而虛數≠有理數。
②當k=有理數,用歸謬法。若πk=R,而π=R/k,而R/k是有理數,則有π是有理數,不成立。
③當k=無理數,用枚舉歸謬法。若π×π=R,而π=R/π,再歸謬,R/π=R',即π=R',不成立。
綜合上述三種情況,題設可能乘以的數,不外乎複數與實數(有理數與無理數),而已證πk皆不是有理數。根據排中律(排除法),證畢。
在回答之前先介紹一下圓周率,圓周率名稱來自於圓周長與直徑之比,一般用π表示,
它是一個無理數,所謂無理數就是沒有規律的數,比如它是個小數,但是它的位數是無限的,又是不循環的。所有無理數是寫不成n/m的分數形式的,其中m和n均為不為零的有理數。圓周率π還是個超越數,由於與本題無關,這裡不作介紹,有興趣的可以查閱有關資料。好了下面進入正題。
先說答案:當然能了。舉幾個例子可以說明。比如說圓周率π乘以0就變成0了,0就是個有理數。再比如圓周率π乘以1/π就變成1了,1也是有理數。當然1/π並不是分數,它也是個無理數,咱們再從幾何圖形上舉個例子,我們知道圓周率π來自於圓周長C與直徑D之比,即C=πD,
由上面可知,C和D不可能都是有理數,其中至少有一個是無理數,如果直徑D取大小為n/π的無理數(n為有理數),那圓周率π乘以直徑n/π,得到的圓周長C就為有理數n。當然反過來直徑D如果為有理數,那圓周長C就是無理數了。
實際上,①,無理數乖以任何不為0的有理數,其乘積仍然是無理數。
②,除0之外,無理數只有乘以無理數才有可能成為有理數,比如乖以1/π,形象地說就叫“以毒攻毒”。
③,當然無理數乘以無理數得到無理數的可能性更大。比如乘以π、乖以√2等等。這是因為無理數的數目比有理數的數目大多了,它們雖然都是無窮多,但它們的無窮級別不同。
當然能!
比如,一個周長為 2 的圓。圓周率乘以 2 再乘以這個圓的半徑等於 2 :
π × ( 2 r ) = 2
結果,圓周率乘以“周長為 2 的圓的半徑的 2 倍”,等於 2 ( 有理數 )。
乘以一個什麼數?
乘以n/π,等於n
一個有理的人和無理的人能糾的清麼?
圓周率是圓與直徑的比值,它乘以任何一個數,都沒有任何意義,因為圓周率本身不是數,而是值,值與數相乘,不會出現結果,更談不上結果是不是一個有理數。
例如,圓周率乘以7,你說,這能意味著什麼呢?難道說結果是7個圓周率嗎?世界上有這種東西存在嗎?
圓周率本身是個無理數,如果硬要說它與其他數相乘,不管其它數是有理數或無理數(0除外),結果只能是無理數,而且,只是一個沒有任何意義的無理數,這個結論,至於證明嘛,如同證明哥德巴赫猜想,我也是有口難言,沒辦法。
有人說,兀乘以兀分之一,結果等於一,是個有理數。實際上,兀分之一也是個無理數,兀乘以一個無理數,結果只能還是無理數,不存在等於1,要說它等於1,只能說是人類數學還未發展到高級階段。要真等於1了,那就是個有理數了。
由以上分析,圓周率不存在能與其他數相乘!