嚴嵩能把持朝政二十餘年，自有他的過人之處，從《大明王朝1566》中的這兩個細節，就能充分說明：只要嚴嵩在，徐階就當不了首輔。
第一個細節：隨著沈一石被炒，浙江製造局貪墨一案即將浮出水面。當胡宗憲抬著從沈一石家裡抄出來的賬冊進宮時，嘉靖皇帝朱厚熜憤怒了。此時的嘉靖皇帝還是黏在嚴嵩為朝廷做過很多事的份兒上指使胡宗憲抬著賬冊去嚴嵩府上，這是有很深的目的性的：一來是試探試探這其中是不是有嚴嵩什麼事，二來是給嚴嵩的一個嚴厲警告。在此之前，朱厚熜已經警告過嚴嵩要看好自己的兒子嚴世璠。
但是嚴嵩沒有打開箱子裡面的賬冊，要胡宗憲又抬回去了。這個細節很有講究：一是辦事走程序而無過。作為內閣首輔，不管是辦什麼差事，首先要講求程序，方才無過。明明這件事是涉及朝局的大事，影響的將是大明王朝的根基，嚴嵩看與不看或者此事是不是涉及自己都無關緊要，如果邁過了程序，嘉靖皇帝就會對他另眼相看，這是主要關口。二是辦事清責任而無非。嚴嵩心裡明白，儘管這是胡宗憲抬來的，他也問了胡宗憲是不是朱厚熜的主意，但是他心裡依然清楚，胡宗憲抬來一定有他的難處而不便說，他問一問，不過是讓事情更自然一點，僅此而已。但是內心一定猜到是朱厚熜的指示。他若是看了，就證明他與這件事脫不了干係，也許就會毀屍滅跡，這樣嘉靖皇帝就直接抓住了他的把柄。如果他不看，至少還能證明，他嚴嵩與這件事沒有多大關係，他還是按照朝廷的職責在辦差。
這個細節讓嘉靖皇帝的算盤基本上落空了，要是徐階就不一定了，下面這個細節就能說明。
第二個細節：當嘉靖皇帝將嚴嵩父子招來問詢的時候，嚴世璠還在矢口否認。朱厚熜一不做二不休，乾脆就直接將嚴世璠趕出了內閣。並立刻調整了內閣班子。但是朱厚熜還是很聰明，他心裡深知裕王一黨與嚴黨的勢不兩立，這時候如果僅僅將嚴世璠趕出內閣，裕王一黨就會大做文章以證明自身的功績，所以，為了平衡裕王一黨的囂張局面，朱厚熜將張居正和高拱也同時趕出了內閣。這樣雙方都沒什麼意見，又至少會風平浪靜一陣子。
當呂方按照嘉靖的指示宣讀完內閣調整重組的聖旨之後。舊的班底還沒有解散，張居正高拱就急著推薦趙貞吉任浙江巡撫查處鄭必昌何茂才，而徐階也是當面表示同意並向嚴嵩舉薦。
嚴嵩說：張居正、高拱、嚴世璠先出去，讓另外兩個入內閣的成員進來。（大意）
徐階犯了一個很典型的錯誤，就是舊的內閣剛剛解散，新的內閣成員還沒有到位，已經免除內閣成員的人此時發表的推薦到底有不有什麼效用另當別論，起碼程序就走錯了。定人查處鄭必昌何茂才也不是舊班子所做的事，而應該是新任內閣班子來做的事。徐階的這一做法完全違背了組織工作程序和方法。這是錯誤之一。
其二，你徐階此時採納已免內閣成員身份的高拱和張居正的意見，不是明目張膽的啟用自己人搞黨爭嗎？要不是嚴嵩已經意識到自己已經危在旦夕了，需要夾起尾巴做人，嚴嵩當即就可以抓住徐階的這個小辮子讓你百口莫辯。
所以綜上所述，只要嚴嵩在，徐階還真的當不了首輔。
感謝悟空問答官方邀請！個人認為嚴嵩談不上是徐階的剋星，他們權勢地位多取決於皇帝的好惡及入朝的早晚。就問題中的描述來講，嚴嵩最後就是敗於徐階之手。
下面介紹一下除階扳倒嚴嵩的大致過程：
徐階也是因為善寫青詞而受到嘉靖帝的信任，就個人而言，他與嚴嵩之間並沒有直接衝突，嚴嵩之所以猜忌徐階，是因為前首輔夏言曾向嘉靖帝推薦過徐階，所以“嵩以是忌之”。徐階也知道就是因為這個原因，嚴嵩對他非常不滿，所以，他裝出一副謹慎小心的樣子對待嚴嵩，才漸漸擺脫了危險，並於嘉靖三十一年（公元1552年）三月，以禮部尚書兼東閣大學士，參予機務。後來，由於嚴嵩到處培植親信，並把他們安插在重要部門，這才引起嘉靖的不滿。嘉靖三十七年三月，刑科給事中吳時來、刑部主事張翀、董傳策在同一天彈劾嚴嵩。張翀和吳時來是徐階的門生，董傳策則是徐階的同鄉後生，吳時來後來還在徐階的家鄉做過地方官，在這樣一種褲帶關係下，嚴嵩懷疑徐階是幕後主使者，於是上疏嘉靖帝，請求將三人下獄拷問，但被嘉靖帝拒絕。自此以後，嚴嵩在嘉靖帝眼中的印象逐漸壞了起來，徐階在與嚴嵩的爭奪中，慢慢處於有利地位。
彈劾事件過去不久，嚴嵩的妻子歐陽氏病死，嚴家父子再次遇到了難題。由於嚴嵩年老昏花，對嘉靖帝的旨意多有不解，只能依靠其子嚴子蕃。按照封建禮法，嚴世蕃應該把母親靈柩護送回老家，在家丁憂。但因為嚴嵩的請求，嘉靖帝才答應以嚴嵩的孫子嚴鵠代行。嚴世蕃雖然仍留在京城，但已不能進入內閣幫助嚴嵩處理政務。遇有緊急文件都由太監送到嚴府處理。然而，每當太監給嚴世蕃送文件時，他都是摟著姬妾飲酒作樂，所以往往耽誤了朝政的處事。嚴嵩無奈，只好自己解決，然而，每次都詞不達意，所以令嘉靖帝非常生氣。
嘉靖四十年（公元1561年），嘉靖帝居住的永壽宮發生火災，只好搬到玉熙殿居住。但由於玉熙殿比較狹小，所以，嘉靖帝打算擴建一下。在徵求嚴嵩的意見時，嚴嵩的回答是讓嘉靖帝暫時搬到南城離宮，這一下立即引起了嘉靖帝的震怒。因為南宮是明英宗被明代宗軟禁的地方，嚴嵩這樣說，直接觸及了嘉靖帝的敏感神經。嘉靖帝轉而去徵求徐階的意見，徐階則回答道應該重建永壽宮，令嘉靖帝大喜。第二年工程完畢，改名萬壽宮。從此以後，嘉靖帝“益親（徐）階，顧問多不及（嚴）嵩”。不久，嘉靖帝非常信任的方士藍道行（‘大明王朝1566’中嘉靖帝口中的藍神仙）假借神靈之言揭發嚴嵩的罪行。嘉靖帝問道：“既然如此，神仙為何不將其處死？”藍道行說道：“神仙傳話，留著由皇帝自行處置。”迷信方術的嘉靖帝果然心動，對嚴嵩下了殺心。
這個消息被御史鄒應龍得知，他在徐階的支持下，“抗疏極論（嚴）嵩父子不法”，併發誓道：“臣言不實，乞斬臣首以謝（嚴）嵩、世蕃！”於是，嚴嵩被勒令致仕，嚴世蕃被充軍。鄒應龍因功被擢為通政司參議，徐階升為內閣首輔。就這樣，嚴嵩終於被徐階扳倒。
